Quadrature de l'hyperbole

Dans cette activité, on s'intéresse à la quadrature de l'hyperbole qui consiste à trouver l'aire du domaine délimité par l'hyperbole représentative de la fonction inverse et l'axe des abscisses. L'objectif est d'observer comment le calcul de cette aire permet d'obtenir des valeurs approchées des logarithmes népériens.

Partie A : familiarisation avec la quadrature

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0~;+ \infty[\) par \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) et \(\mathcal{H}\) sa courbe représentative.
Pour tout réel \(a\geqslant1\), on note \(\mathcal{A}(a)\) l'aire du domaine délimité par la courbe \(\mathcal{H}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=1\) et \(x=a\).

Dans le fichier de géométrie dynamique suivant est représentée, dans un repère orthogonal, l'hyperbole, courbe représentative de la fonction inverse ainsi que les droites d'équations \(x=1\) et \(x=a\).

1. À l'aide du curseur, faire varier la valeur de \(a\) et compléter le tableau de valeurs suivant par pas de \(0{,}5\), en arrondissant à \(10^{-4}\) près.

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a&~1~&1{,}5&~2~&2{,}5&~3~&3{,}5&~4~&4{,}5&~5~&5{,}5&~6~&6{,}5&~7~\\ \hline \mathcal{A}(a)&&& &\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

2. On considère la fonction qui à \(a\) réel supérieur ou égal à \(1\) associe l'aire de la partie du domainee délimité par la courbe \(\mathcal{H}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=1\) et \(x=a\). À l'aide des observations réalisées dans la question 1. conjecturer :

• la valeur de \(\mathcal{A}(\text{e})\) ;
  
• le signe de la fonction \(\mathcal{A}\) sur \([1~;+\infty[\) ;
  
• les variations de la fonction \(\mathcal{A}\) sur \([1~;+\infty[\).

Partie B : propriétés de l'aire sous la courbe

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0~;+ \infty[\) par \(f(x)=\dfrac{1}{x}\).

Soit \(b\), \(c\) et \(d\) trois nombres réels tels que \(1\leqslant b\leqslant c\leqslant d\).
On considère les points \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\) et \(\text{D}\) appartenant à l'hyperbole représentative de la fonction \(f\) d'abscisses respectives \(1\), \(b\), \(c\) et \(d\).

On s'intéresse aux aires des trois domaines suivants :

• le domaine 1 délimité par la courbe \(\mathcal{H}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=1\) et \(x=b\) ;
• le domaine 2 délimité par la courbe \(\mathcal{H}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=b\) et \(x=c\) ;
• le domaine 3 délimité par la courbe \(\mathcal{H}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=c\) et \(x=d\).

Dans le fichier de géométrie dynamique suivant sont représentés, dans un repère orthogonal, l'hyperbole notée \(\mathcal{H}\), courbe représentative de la fonction inverse, ainsi que les points \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\) et \(\text{D}\). Les aires, en unités d'aire arrondies à \(10^{-2}\) près, des trois domaines décrits précédemment sont indiquées respectivement en rouge, vert et bleu.

1. Déplacer les points \(\text{B}\) et \(\text{C}\) de sorte que \(b=2\) et \(c=4\). Observer les aires des domaines rouge et vert, puis conjecturer la valeur de \(d\) afin que l'aire du domaine bleu soit égale à celles des deux autres domaines.
2. En utilisant le fichier de géométrie dynamique, compléter le tableau suivant.

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Aire du domaine} & \text{rouge}&\text{vert}&\text{bleu}\\ \hline b=2, c=4, d=8&&& \\ \hline b=3, c=9, d=27 \\ \hline b=\dfrac{3}{2}, c=\dfrac{9}{4}, d=\dfrac{27}{8} \\ \hline \end{array}\end{align*}\)

Que peut-on constater ?
3. Les déterminations d'aires sont des problèmes très anciens. En 1647, Grégoire de Saint-Vincent publie Opus geometricum, à Anvers. Dans son ouvrage, il affirme que, dans la configuration qu'on vient d'observer : « Quand les abscisses croissent en progression géométrique, les aires croissent en progression arithmétique. » (adapté au langage moderne).
Illustrer la citation de Grégoire de Saint-Vincent à l'aide des observations réalisées et identifier pour chacun des trois exemples traités à la question 2. les raisons de la suite arithmétique et géométrique évoquées dans la citation.

Voici la page originale : 

4. Expliquer pourquoi les observations précédentes permettent d'énoncer la propriété suivante.

Propriété

Soit \(\mathcal A\) la fonction définie pour tout réel supérieur à \(1\) qui, à tout   \(a\geqslant1\), associe l'aire du domaine délimité par la courbe \(\mathcal{H}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=1\) et \(x=a\).
Pour tous les réels \(a\geqslant1\) et \(b\geqslant1\), on a \(\mathcal{A}(a\times b) = \mathcal{A}(a) + \mathcal{A}(b)\).

Partie C : bilan

En 1649, Alphonse de Sarasa écrit que les aires étudiées par Grégoire de Saint-Vincent « peuvent servir de logarithmes ».

1. En s'appuyant sur les observations réalisées, justifier la proposition d'Alphonse de Sarasa.
2. En reprenant les notations de la partie B, identifier plusieurs domaines dont l'aire correspondrait à \(\text{ln}(2)\).

On souhaite déterminer une valeur approchée de \(\text{ln}(2)\). Dans la figure suivante sont représentés dans un repère orthogonal :

• l'hyperbole représentative de la fonction inverse ;
  
• les points \(\text{A}\) et \(\text{B}\) d'abscisses respectives \(1\) et \(2\) appartenant à la courbe ;
  
• les points \(\text{C}\) et \(\text{D}\) de l'axe des abscisses d'abscisses respectives \(2\) et \(1\).
  

Le quadrilatère \(\text{ABCD}\) est un trapèze rectangle.
3. Calculer l'aire de \(\text{ABCD}\) et justifier qu'il s'agit d'une valeur approchée de \(\text{ln}(2)\).
4. Comparer la valeur trouvée à celle affichée par la calculatrice. Conjecturer une méthode pour obtenir une valeur plus précise.
5. Déterminer une valeur approchée de \(\text{ln}(3)\). On pourra se servir de la propriété \(\text{ln}(a\times b)=\text{ln}(a)+\text{ln}(b)\) pour obtenir une meilleure approximation.